Repères sphériques et cylindriques – Angles d’Euler – Formules de Poisson

Introduction

La manière habituelle pour définir les coordonnées sphériques et cylindriques se fait en partant des relations

\(\left\{\begin{array}{l}
x=\rho \sin \theta \cos \varphi \\
y=\rho \sin \theta \sin \varphi \\
z=\rho \cos \theta
\end{array}\right.\)

pour les coordonnées sphériques et des relations

\(\left\{\begin{array}{l}
x=r \cos \theta \\
y=r \sin \theta \\
z=z
\end{array}\right.\)

pour les coordonnées cylindriques.

On déduit ces relations d’un dessin et on utilise la trigonométrie. Ensuite on dérive pour obtenir les vitesses et encore une fois pour avoir les accélérations. Le procédé est très long et très répétitif pour ne pas dire ennuyeux.

Dans ce support, je vais commencer par définir ce que sont les angles d’Euler.

Dans un second temps je chercherai les angles d’Euler correspondant à des repères associés cylindriques et sphériques. Le formalisme d’Euler permettra de retrouver les relations sur les positions. (Données ci-dessus).

Troisièmement je démontrerai les formules de Poisson.

Et enfin, j’utiliserai ces formules de Poisson pour calculer les vitesses et accélérations d’un point matériel dans les systèmes de coordonnées curvilignes sphériques et cylindriques.

Support 1

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Angles d’Euler – Coordonnées sphériques et cylindriques

Support 2

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Formules de Poisson – Coordonnées sphériques et cylindriques
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